Tres años después, la comunidad
matemática no es capaz de decidir si la incomprensible demostración de la
conjetura 'abc' propuesta por el japonés Shinichi Mochizuki es correcta
La conjetura abc nació
durante una conversación entre los matemáticos David Masser y Joseph Oesterlé
en 1985. Su nombre hace referencia a los protagonistas del enunciado, tres
números a, b y c que cumplen a + b = c. Se pide además que no haya ningún número
primo que divida al mismo tiempo a a y b (recordemos que los números primos son
aquellos únicamente divisibles por 1 y por sí mismos, por ejemplo 3 o 5, pero
no 6, que es el resultado de multiplicar 2 por 3). En una versión simplificada,
la conjetura afirma que si a y b son ambos divisibles por grandes potencias de
números primos, entonces c en general no lo es. A modo de ejemplo, la
factorización de los números 360 y 539 contiene varios números primos
repetidos, pero al sumarlos se obtiene 899 = 29 x 31, donde cada término
aparece una sola vez. La versión precisa cuantifica el número de excepciones a
este comportamiento general. Uno de los motivos por los que resulta tan
inaccesible es que se mezclan la estructura aditiva y multiplicativa de los
números naturales (0, 1, 2... aquellos que utilizamos para contar), cuya
interacción entendemos muy mal.
A pesar de ser un problema
relativamente joven en una disciplina donde muchas preguntas sin resolver
cuentan con varios siglos de historia, la conjetura abc se convirtió en seguida
en uno de los desafíos más populares de la teoría de números, quizá aquel con
mejor relación entre la sencillez del enunciado y la importancia de sus
consecuencias. Por citar una de ellas, la versión más fuerte de la conjetura
abc implica inmediatamente que la ecuación xn + yn = znno tiene soluciones no
triviales cuando n es mayor que 2, el llamado último teorema de Fermat. Con su
resolución también se podrían hacer “efectivos” resultados como la conjetura de
Mordell, que afirman que ciertas ecuaciones tienen un número finito de
soluciones, pero no permiten decir cuántas ni cuál es su complejidad. Por eso
Dorian Goldfeld, de la Universidad de Columbia, no dudó en calificarla como el
problema sin resolver más importante de la disciplina.
EL EXTRAÑO CASO DE SHINICHI MOCHIZUKI
Tras varios intentos fallidos
de demostración a lo largo de los años, un cierto desánimo parecía haberse
instalado en la comunidad: la conjetura abc era, sencillamente, imposible. La
situación dio un giro a finales de agosto de 2012, cuando el matemático japonés
Shinichi Mochizuki (nacido en 1969) colgó en su página web una serie de cuatro
artículos, bajo el título de “Inter-universal Teichmüller theory”, que
culminaban con una supuesta demostración. El primero en darse cuenta fue uno de
sus colegas del Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de Kyoto,
Akio Tamagawa, que sabía que Mochizuki llevaba trabajando en el problema desde
que su director de tesis le pidió, veinte años atrás, que demostrara una versión
efectiva de la conjetura de Mordell; fue él quien, ese mismo día, mandó un
e-mail a varios expertos anunciando la noticia. En principio, no había ninguna
razón para dudar de Mochizuki, un matemático reconocido, que diez años antes
había revolucionado una rama hasta entonces especulativa de las matemáticas (la
geometría anabeliana) con un teorema tan profundo como inesperado.
Sin embargo, los expertos no
tardaron en darse cuenta de que se encontraban ante un caso único. En primer
lugar, los artículos sumaban más de 500 páginas, que reposaban a su vez en
otras 1.500 publicadas por el autor a lo largo de una década, a menudo en
revistas menores, en las que el proceso de revisión es a priori menos fiable.
Aun así, la extensión parecía un obstáculo mínimo al lado de la cantidad de
conceptos nuevos, presentados siempre con la mayor generalidad posible, sin
ejemplos que los motivaran. A lo que había que añadir una terminología
completamente heterodoxa, en la que abundan palabras como “Frobenioide” o
“teatro de Hodge”, en ocasiones para designar nociones estándar que se conocen
bajo otro nombre. Nadie resumió mejor el desconcierto general que el teórico de
números Jordan S. Ellenberg cuando en una entrada en su blog escribió que se
sentía “como leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior”.
Tampoco ayudó a facilitar la
comprensión que Mochizuki rechazara todas las invitaciones a explicar su
trabajo en el extranjero: a pesar de ser bilingüe en japonés y en inglés, no le
gusta salir de Kyoto, aunque sí responde preguntas por e-mail y ha invitado a
varios investigadores a visitarlo. Otra de sus razones es que estima que un
matemático ya entrenado necesitaría al menos 500 horas para entender sus ideas,
algo que no encaja en ninguno de los formatos habituales de actividades
académicas. Todo ello hizo que la mayor parte de sus colegas se dieran por
vencidos poco después del anuncio; hasta ahora, solo cuatro personas afirman
haber entendido la prueba. En su último informe sobre los progresos de
verificación, Mochizuki escribe –refiriéndose a la dificultad de comunicarse
con los demás– que el estatus de su teoría dentro de las matemáticas
“constituye una especie de miniatura fiel del estatus de las matemáticas puras
dentro de la sociedad”.
EL CONGRESO DE OXFORD
Tres años después, la
demostración sigue en el limbo... Con el objetivo de aunar esfuerzos para
avanzar en la comprensión de las nuevas ideas, entre el 7 y el 11 de diciembre
se organizó el congreso IUT theory of Shinichi Mochizuki en la Universidad de
Oxford. La lista de participantes incluía a muchos de los grandes expertos de
la teoría de números, aunque la mayoría prefirieron dejar en manos de los más
jóvenes el trabajo de lectura y presentación de los artículos. Mochizuki, el
gran ausente, respondió a sus preguntas en dos conversaciones por Skype.
Pasadas dos semanas, las conclusiones son ambiguas. La mayoría de los
participantes coinciden en que, durante las primeras sesiones –destinadas a
cubrir los prerrequisitos–, hubo avances importantes. Por desgracia, una
sensación de frustración general empezó a cundir a partir del cuarto día,
cuando tres de las personas que han comprobado los detalles de la prueba
empezaron a explicar la teoría de Mochizuki. En palabras de Brian Conrad, de la
Universidad de Stanford, “nunca se produjo ese momento ¡ajá! que todos estaban
esperando”.
Una etapa clave en la
evaluación de un trabajo matemático consiste en identificar cuáles son las
nuevas ideas y cómo se usan. En el caso de Mochizuki, todos los intentos han
fracasado hasta la fecha. El propio autor ha reconocido que solo una pequeña
parte de su “teoría de Teichmüller interuniversal” es necesaria para la
demostración, pero no parece tener del todo claro cuál. Hay quien habla de
“teorías que hemos nacido demasiado pronto para entender”. Tras un balance poco
concluyente, un nuevo congreso tendrá lugar en Kioto en junio de 2016. Los más
optimistas esperan avanzar otro pequeño paso, mientras que otros ya han
abandonado: si Mochizuki no escribe un artículo que se entienda, puede que el
asunto nunca llegue a resolverse.
Javier Fresán es matemático y
autor de varios libros de divulgación. En la actualidad trabaja como
investigador postdoctoral en el ETH de Zürich. Hace unos meses recibió el
premio Vicent Caselles de la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación
BBVA.
(DOSSIER POLITICO/ Tomado de: Javier
Fresán / El País/2016-01-02)
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